原创翻译: LSCAROLLI @ 纪录片之家
或许描述我研究数学的经历最恰当的比方 就是进入一个黑暗的大宅中
因为 当一个人进到头个黑暗房间里 伸手不见五指
就会跌跌撞撞地碰到家具
逐渐地你会知道每件家具的所在位置
而经过六个月的样子 你最终会找到开关 打开灯
突然间照亮了一切 你可清楚看到你所处的位置
九月初的一天 我坐在书桌这儿
突然间 完全意外地 我得到了这令人难以置信的启示
那是我工作生涯中最 最重要的时刻
再也没有过...抱歉
费马最后定理
这个故事是关于一个人对于世界上 最大数学难题的沉迷
七年来 安德鲁·怀尔斯教授一直进行着 不为人知的研究 创造出了世纪计算式
正是这个计算给他带来了名誉 以及遗憾
是这么回事 我十岁的一天 正好在当地公共图书馆逛
发现了一本数学方面的书 讲了一些关于这个难题的历史
(安德鲁·怀尔斯 教授) 有人于300年前解决了这个难题 但还没有人看到过这证明
没人知道确有个证明存在
人们自那时起就一直在寻找证明 这儿有个十岁的我能够理解的问题
而还没有一位之前的伟大数学家得以将其解决
自那时起 我自然而然地尝试要自己解决它
那是如此具挑战性 如此美丽的难题
这个难题就是费马最后定理
皮埃尔·德·费马 是17世纪时期的法国数学家 他在数学历史上成就了一些最伟大的突破
他的灵感来自于研习"算术" 那本古希腊著作
(约翰·康威 教授 普林斯顿大学) 费马有这本书的一份复本 这本书是关于数字以及许多难题 是费马力图解决的那些
他研习它 在空栏处写下笔记
费马的原始笔记已遗失 但在他儿子出版的书中可看到那些
这些笔记中的一条正是费马最伟大的遗产
皮埃尔·德·费马大人的这个奇妙观察成果 惹出了所有的麻烦:
"Cubum autem in duos cubos"
这条短短的手记是世界上最困难的数学题
数世纪以来未获破解
它起始于一个等式 简单得孩子们早已铭记于心
直角三角形斜边的平方等于另两边平方之和
那就是勾股定理(毕氏定理) 不是吗 那正是我们在学校里都用过的
对于勾股定理 其奇妙之处在于告诉我们
当三个数字是个直角三角形的三条边时
x的平方+y的平方=z的平方时 就是那样
X^2 + y^2 = z^2 你可以问: 那么这个等式的整数解是什么?
你很快就会找到一个答案是3^2 + 4^2 = 5^2 另个答案是5^2 + 12^2 = 13^2
继续寻找你会找到越来越多的整数解 一个自然而然的问题 也是费马提出的问题是:
假设改变次方数 假设将平方改为三次方 四次方 五次方 六次方
以及任何整数'n'次方 费马说仅如此
你就找不到任何解 不管你怎么找 你永远也找不到一个解
如果n大于2 你永远也找不到符合这个等式的数字
那正是费马声称的 更有甚者 他说他可以对之进行证明
灵智闪现之时 他写下了如下神秘的话语
他用拉丁文说他关于此有一个确实了不起的证明 "Demonstrationem mirabilem"(美妙的证明)
他最后语句是: "Hanc marginis exigiutas non caperet"
这空白处太小了 写不下
因此费马说他有个证明 但他从没有说出来那是什么
费马写了相当多的页栏笔记
人们将那些视为挑战 数世纪以来
其中的每一条都已被解决后丢弃 而最后一个要被丢弃的正是这个
也就是称之为'最后定理'的原因
再现费马证明成为了终级挑战
一个在接下来的300年里困扰着数学家们的挑战
高斯 世界上最伟大的数学家...
哦 是的 伽罗瓦(法国数学家)...
当然还有库默尔(德国数学家)...
在18世纪 欧拉(瑞士数学家)没能证明它
要知道只有一个女人真正地...
索菲·热尔曼(法国女数学家)
哦 有数百万人 有许多人
但没人知道从哪儿着手
数学家们只是喜欢挑战 而这个问题 这个特别的问题
看来如此简单 看起来就像是它一定得有个解答
当然它非常特别 因为费马说他对此有个解答
数学家们得要证明没有数字可适于这个等式
但随着计算机时代的到来 他们就不能一个个地
试那些数字并表明没有适合的吗?
要这么做的话得要试多少个数?
你得要这么试上无穷无尽的数字
那么你试了一个数后 距离目标还有多远?
仍有不可计数的那些
在你试了1千个数后 还有多少 距离目标还有多远?
就算你试了数百万个以后 还是有无穷无尽的其它
事实上 你没试多少 对吧?
计算机从来不能把每个数字都试一遍 相反 所需的是数学证明
除非证明过程完整而且就数学标准看来是完整的 不然数学家是不会高兴的
数学世界中的概念是要证明某样东西 要绝对确定地了解它
而这被称为铁证
数学就是那么回事
证明是一种论据 它解释了为何没有数字符合那个等式
而用不着查验每个数字
历经数世纪寻求证明的失败
数学家们开始撇开费马而转向更严肃的数学
至70年代费马不再热门
与那同时 安德鲁·怀尔斯正开始其作为数学家的生涯
他作为一名研究生进入剑桥大学 师从约翰·科茨教授
我很幸运有安德鲁作学生
(约翰·科茨 教授 剑桥大学) 尽便那时他仅是个研究生 也是位共事的好伙伴了
他那时就有深邃的思想
显而易见 他是个可做大事情的数学家
但不是做费马的文章
每个人都认为费马最后定理是不可证的
因此科茨教授力劝安德鲁忘记他儿时的梦想
而研究更为主流的数学课题
我去剑桥时 我的导师 约翰·科茨
正在研究伊娃沙娃理论以及椭圆曲线 我开始与他共事
椭圆曲线是热门研究对象 但顽固的在于
椭圆曲线既非椭圆也非曲线
你可能从未听说过椭圆曲线 但它们都极为重要
OK 一条椭圆曲线是什么?
(巴里·梅休尔 教授 哈佛大学) 椭圆曲线 - 不是椭圆 它们是三次曲线 其解的
形状看来像是个甜甜圈
(彼得·萨纳克 教授 普林斯顿大学) 它看来如此简单 然而其复杂性 尤其是几何复杂性 极大
甜甜圈上的每个点都是某个等式的解
安德鲁·怀尔斯现正在研究这些椭圆等式 而将他的梦想置于一旁
他未意识到的是在地球的另一边
椭圆曲线和费马最后定理不可避免地联系在了一起
我于1949年进入东京大学
那是二战结束后四年
(志村五郎 教授 普林斯顿大学) 但几乎所有的教授都精疲力竭 而且讲学也不吸引人
志村五郎和他的学生只能靠 他们自己之间互相激励
他特别与一个名为谷山丰的年轻人
结成了非凡的伙伴关系
正是那时我开始与谷山丰非常亲密
作为一名数学家 谷山丰不是个很仔细的人
他犯了很多错 但他所犯的错大方向是对的
因此最终他得到了正确的答案 我尝试模仿他
但我发现要犯"好"错是很难的
谷山丰和志村五郎一起进行模函数方面复杂数学的研究
我实在不能用一句话来描述模函数是什么
我可以试着以几句话来解释
确实不能以一句概括之
哦 不可能的
埃其勒曾说过
算术中有五种基本运算:
加 减 乘 除 以及模形式
模形式是有着非比寻常对称性的复杂平面的函数
它们具有如此多的内在对称性 其存在
看来像出自意外 但它们确实存在
这幅图像仅是一个模形式的映射
要看得真切 你的电视屏可能得需要
伸展入双曲空间
怪里怪气的模形式看上去和椭圆曲线的
单调世界没什么关系
但谷山丰和志村五郎的提法语惊四座
在1955年的一次国际学术报告会上 谷山丰提出了两三个问题
谷山丰提的问题引致的非凡声明即为
每条椭圆曲线实为改头换面的模形式
这就是有名的'谷山—志村猜想'
谷山—志村猜想是说 每条合理的椭圆曲线都是模
很难来说清楚
让我来解释一下
这儿有个椭圆世界 椭圆曲线 这些甜甜圈
而这儿有个模世界 模形式以及它们许多许多的对称形式
谷山—志村猜想在这两个世界间架起了一座桥梁
这两个世界是在不同的星球上
它是座桥 还不仅是座桥 它确实还是本字典
这本字典中 一个世界中的问题 直觉 见地 定理
翻译成为另一个世界中的问题 直觉
(肯·里贝特 教授 加州大学伯克利分校) 我认为谷山丰和志村五郎开始讨论椭圆曲线和
模形式之间的关系时 大家都非常怀疑
我当时还不在研习数学
当1969年或1970年我是研究生时
大家开始相信这个猜想
事实上 谷山—志村猜想成为了其它依靠它而 建立的理论的基础
但谷山—志村猜想毕竟只是个猜想 未经验证 而在它经验证之前
所有赖以建立的数理都面临威胁
建立起了越来越多的猜想 越来越扩展向未来
但如果谷山—志村猜想不对 这所有的一切就都荒诞可笑
验证这猜想至为关键
但悲惨的是 创出这猜想的人
没能活着看到他研究成果的巨大影响
1958年 谷山丰自杀了
我感到非常困惑
'困惑'可能是最合适的字眼
当然我很难过 发生得如此突然
对于此事我完全不能理解
谷山—志村猜想仍旧是一个未经验证的大猜想
但它和费马最后定理间有什么关系?
那时 没人会想到
谷山—志村猜想会和费马有什么关联
当然到了80年代 一切都完全变了
谷山—志村猜想说: 每条椭圆曲线都是模
而费马说: 没有合适这个等式的数
其关联是什么?
"这个或那个 我要找到你"
"这个或那个 我需要你"
"我要得到你 得到你 得到你"
"这个或那个 我要看到你"
"我要见到你 见到你 见到你 总有一天....."
表面上看来 谷山—志村猜想
是关于椭圆曲线的
因为费马和椭圆曲线之间没有关联
但在1985年 格尔哈德·弗莱有了了不起的想法
弗莱 德国数学家 考虑的是不可想象的可能:
如果费马有误 这个等式根本就有解的话会如何呢?
弗莱展示出如何从费马最后定理的 一个假定解着手
如果这样一个可怕的怪兽确实存在 他就可赋予椭圆曲线
一些非常怪异的特性
那种椭圆曲线看来是非模形式
但谷山—志村认为每条椭圆曲线就是模形式的
因此如果这个等式有解 就会产生如此这般怪异的椭圆曲线
而挑战谷山—志村猜想
换而言之 如果费马是错的 谷山—志村猜想也就是错的
或者说 如果谷山—志村猜想是对的 那么费马最后定理也是对的
费马和谷山—志村现已联系在一起 只除了一件事
问题在于弗莱其实没有证明他的椭圆曲线不是模形式
他给出了一个看似有理的论点 寄希望于专家们能够证实
于是专家们开始进行研究
理论上 你可经由证实谷山丰来证实费马
但只有在弗莱正确时
弗莱的观点得名为"Epsilon猜想"
大家都试图要验证它
一年之后 在旧金山市有了个突破
我在校园里看到巴里·梅休尔 就说一起去喝杯咖啡吧
我们在这间咖啡吧里喝卡布其诺
我望着巴里说 要知道
我正试着将我所做的归纳起来 这样我们就可以证明
塞尔(法国数学家)之Epsillon猜想的力量
巴里看着我说 这你已经做到了
你所要做的就是在M结构的基础上加些灰度系数
然后重新运算你的论点 如果仍有效
就可给你所需的一切
而这听上去如此简单的观点我还从未能想到
我看了看巴里 看了看我的卡布其诺
再看向巴里说 天哪
你完全正确
肯·里比特的想法太棒了!
刚入晚的时候我正在一个朋友家里喝冰茶
在我们的谈话当中他随意提到:
顺便问问 你听说了肯已经证明了Epsilon猜想吗?
我如遭电击
我当时就意识到我这一生发生了转变
因为这意味着要证明费马最后定理
我只需要证明谷山—志村猜想
就从那一刻起那即为我钻研的对象
我只知道我要回家 着手攻克谷山—志村猜想
安德鲁放弃了其它所有的研究工作
在接下来的七年里他将自己隔绝于外部世界
他只专注于他的儿时梦想
我从不用计算机
有时候我会乱涂乱画
我开始试图找到确实的模式 因此我进行
可用来解释一些数学理论的计算
并力图使其契合于一些以前对数学分支的
大范围的概念理解之中
有时候这需要去查看一些书来了解是是如何完成的
有时候只是要进行一点修改的问题
有时候得再做一些计算
有时候你意识到以前做过的东西根本没用
你得要找到一些全新的方式
而会从哪儿来则是完全是谜
我必须承认我不认为谷山-志村猜想
目前可被证实 我想可能在我有生之年都看不到证明了
我是绝大多数人中的一员 相信
谷山-志村猜想根本是无法达致
我犯不着来证明它 想也没想过要来证明它
安德鲁·怀尔斯可能是世上那少数人之一
有胆量来设想确实可以来证明这个猜想
既是如此 在头七年 我不害怕这挑战
我只是不认为我或是任何其他人 清楚知道该如何进行
安德鲁要进行的是史上最为复杂的计算之一
在头两年 其它的事没做 他只是埋首于难题当中
试图找到有用的策略
现在已经知道 谷山-志村猜想暗示了费马最后定理
谷山-志村猜想是怎么说的?
它说所有的椭圆曲线都应为模形式
这是个老难题了 已有20年左右
许多人尝试解决它
而如今看待它的一种方式就是 你有了所有的椭圆曲线
接着你又有了模形式椭圆曲线
你所要证明的就是这两者有同样的数量
当然了 所谈及的是无穷组
因此当然不能仅靠计数
但你可将它们分成一族族的 这样就可尽量来数每个族
看看会如何
头30秒这是个相当吸引人的想法
但其实你也只能到那一地步了
而关于这个的关键问题在于你如何来计数
实际上 怀尔斯引入了正确的方法
安德鲁的方法是将椭圆曲线转化为
称为加勒华表示的形式
这能使计数容易些
现在是将模形式和加勒华表示 而不是
和椭圆曲线进行比较的问题了
你可能会问 也是个显而易见的问题就是
为什么你不可以用椭圆曲线和模形式来进行
为什么你不可以数椭圆曲线 数模形式
再显示它们有一样多?
答案就在于人们试过了 但从未能找到一种计数的方式
这即为关键突破所在的原因
我找到的方式不是来计数原问题 而是修改后的问题
我找到了一种计数模形式和加勒华表示的方法
这只是第一步 但已花费了安德鲁三年的时间
我太太只知道我在研究费马定理
结婚前数天我告诉她的
我想着我仅有时间用于我的课题和我的家庭
因此我找到了这个很棒的计数机理
并开始从伊娃沙娃理论的角度来考虑这个具体问题
伊娃沙娃理论是我做为研究生时的课题
实际上我正要和我的导师 约翰·科茨 来应用它在分析椭圆曲线上
伊娃沙娃理论应可帮助创建出称为类数公式的东西
但数月过去了 而类数公式仍遥遥无期
91年的夏末 我参加了一个研讨会
约翰·科茨告诉了我关于他的一位学生 马蒂亚斯·弗拉赫写就的
一篇精彩论文 其中他生成了一个类数公式
事实上正是我所需要的类数公式
弗拉赫借鉴了科里瓦金(俄国数论学家)的思想 他在产生类数公式的实际过程中
迈出了非常具有意义的第一步
所以在那个时候我想这正是我需要的 正与那问题相契合
我完全将以前尝试的旧方法弃之一旁
不分日夜地投入到拓展他研究成果的工作当中
安德鲁几已成功 但这个突破既冒险又复杂
经过六年的隐密研究 他需要向某人倾诉
(尼克·凯兹 教授 普林斯顿大学) 1993年1月的一天 安德鲁在喝茶时间来找我
问我能否去一趟他的办公室
在那儿他有事情要和我谈谈
我毫无头绪会是什么事
去到了他的办公室 他关上门
他说他认为他能够证实谷山—志村猜想
我太吃惊了 这太不可思议了
其中包括的一类数学正是 尼克·凯兹所擅长的
我想他问我的另一原因是他确定我不会告诉其他人
我会守口如瓶 也正是如此
安德鲁·怀尔斯和尼克·凯兹一起花了许多时间
缩在公共休息室远角的一张咖啡桌那儿 共同研究这样那样的问题
我们从不知道那是什么
为了不引起更多的怀疑
安德鲁决定通过乔装的方式来验证他的证明
以一个课程的方式 尼克·凯兹亦可参加
在这堂课的开始我解释道 弗拉赫写就了这篇漂亮的论文
而我力图要拓展它 以证明整个类数公式
我唯一没有说明的是 证明类数公式
是通往的费马最后定理的康庄大道
这个课程随即出了通告
说是说椭圆曲线的计算
但其意味深长
没有提及费马 没有提及谷山-志村猜想
如果你不是已然知晓 这个世界上不可能再会有谁猜到
其真正是关于什么的
没有研究生知道 而数周后他们陆续退出了
因为如果你不知道它的用意 就不可能跟得上 确实如此
即使你知道它的用意 也是相当困难的
但过了几周 我就成了唯一的听众
讲课中没有错误的迹象 而他的同事们无一
怀疑过安德鲁为何会如此秘密
也许他想法枯竭了
因此他很安静 你从不了解他们为何安静
证明仍缺少一个至关重要的成分
但安德鲁现在自信满满
是时候要告知另一个人了
于是我打电话给彼得 问他我可否来一趟和他谈些东西
我接到安德鲁来的一个电话 说他有个非常重要的事情想来和我谈谈
他肯定有了什么非常让人兴奋的消息
我说我觉得你最后坐下谈
他坐下了
我说我认为我将要证明费马最后定理了
我大吃一惊 又兴奋 又不安
我意思是 我记得那晚相当难以入睡
但仍存有一个问题
93年的晚春时分 我处于一个非常尴尬的境地
我认为我已将大多数的曲线模形式化
那对于论证费马最后定理来说已几近足够
但情况是 有些个椭圆曲线族仍无法纳入大体
93年的5月 我坐在书桌这儿
仍在考虑这个难题
而我无意间瞥见了巴里·梅休尔的一篇论文
其中只有一句话提及的实为19世纪时期的一个结构
我当即意识到其中有个技巧我可以用上
我可以将我正在使用的椭圆曲线族进行转换
以前是在用质数3来研究它们
我可以进行转换 用质数5来研究它们
看起来是更复杂了 但我可以对这些棘手的我还不能证明其为
模形式的曲线进行转换 转为我已证明为模形式的另一种曲线族
而且利用那数据来迈出最后一步
我一直在钻研出细节
时间过去了 我忘记了下楼吃午饭
至下午茶时间 我下楼来 娜达非常惊讶我来得这么晚
于是我告诉她 我相信我已经破解了费马最后定理
我确信费马难题已尽在掌握中
那时在剑桥大学有一个由我的导师 约翰·科茨组织的研讨会
我认为那儿会是个理想的地方
那是我的故乡 我曾是那儿的研究生
如果我可将证明整理好 那儿将会是谈论它的理想的地方
他所做的讲座的名称只简单地为 '椭圆曲线和模形式'
没有提到费马的最后定理
我坐在这个以L-函数和椭圆曲线为主的研讨会之中
它只是种标准研讨会 所有的人都在
看起来没什么特别之处
直到人们开始告诉我 他们听到奇怪的传言 是关于安德鲁·怀尔斯要做的讲座系列
我开始和大家交谈 得到了越来越多的准确信息 不清楚是怎么散布开的
不是我 不是我
有任何只言片语的数学方面的消息出现时
彼得就会说 哦 那没什么 等听到重大消息吧
会有大事情发生
也许有些暗示 是的
人们会问 对于我的那些讲座 我究竟要说些什么
我说 来听我的讲座了解吧
那是相当紧张的气氛 算术界 代数界 几何界的重要人物齐聚一堂
有理查·泰勒(英国数学家) 约翰·科茨 巴里·梅休尔
我以前还从未见到过像那样的数学讲座系列
那些讲座的独特之处在于光辉的思想
所呈现的新思想的数量
以及他一直保持着的戏剧化的处理方式 使悬念持续到最后
在这个绝妙的时刻 我们已接近了费马最后定理的证明
紧张气氛出来了 而只有一语即可中的
所以当我在黑板上解释完3/5的转换之后
就只写上了关于费马最后定理的一个声明
说我已证明了它 说我可以停下了
第二天完全出乎意料的是 我们被全世界范围的报纸 记者给淹没了
七年后真正解决了我的难题 这感觉太好了
我终于做成了
只是后来显示出最后
仍存有一个问题
现在是时候让它接受审查了
也就是由出版刊物指定的人
来查看并确保其真实无误
因此有两个月 7月和8月 我实际上别的没做 只是浏览这份手稿
一行行地看 具体地来说是基本上每一天
有时是一天两次 我会发邮件给安德鲁询问:
我不明白这一页这一行你的意思
它看起来有误 或只是我还不了解
尼克给我发了很多邮件 而在夏末他发的一封
初看起来没有什么 我努力来解决它
因为有些复杂 他给我发了一份传真
但这份传真看起来没能回答问题
因此我给他回邮件 我又收到另一份传真 而我仍不满意
这实际展现出了一个错误 而且经发现是个基本错误
他在春季进行讲座时 我们完全忽略了的
这个问题正出在 我进行拓展了的弗拉赫和科里瓦金的方法之中
因此我在9月末一意识到
在我搭建架构的的方法当中确实有一个问题时
我花费了整个秋天来考虑 对于这个架构可以做什么样的修改
有许多简单而且自然而然的修改方法 其中之一可能行得通
而每次当他试着改好一个方面 又会有些难题加在另一个方面上
这就好似他想要给一个房间铺上地毯
而地毯的尺寸要比房间的大
但他可以先将任何一个角拉平 但他跑向另一个角时
这个角上的就会翘起来 是否可以将地毯安稳地
置入房间之中不是他能够决定的事
我想从外表来看他一如平常
但在此时他对外守着一个秘密
我认为事实上他一定是对此相当地不舒服
要知道 我们的行为就有点像是苏联政体研究者
没人会愿意出头 问他那证明进行得怎么样了
所以倒会说 今天早上我看到安德鲁了
他笑了吗? 是的 但看不去不怎么高兴
我研究这个难题的头七年
每分钟我都喜欢
不管有多么艰难 经常有多少挫折
有多少看来是不可逾越的事情
但那是一种我所进行的隐秘而非常个人的战斗
而接着出现了一个问题
在那种相当过度曝光的方式下研究数学
当然不是我的风格 我不愿意去重复它
绝望之中 安德鲁求助他人
他邀请他的前学生理查德·泰勒
来和他在普林斯顿进行研究
但没有解决
经过一年的的失败 安德鲁准备要放弃他那有缺陷的证明
九月份 我决定回去再看多一次
弗拉赫和科里瓦金的结构 力图搞清楚
究竟是怎么运作的 尝试要精确地用公式表达
在数学当中 是不可能那么做的
但我只是想让我的头脑接受 那确实是怎么也行不通了
我就坐在这张书桌这儿
那是星期一的早晨 9月19日
试着让自己确信那是不可行的
只是要确切了解症结在哪里 突然间
完全出乎意料地 我得到了这令人难以置信的启示
我意识到让我停驻的正是可以解决问题的
我三年前就应该将伊娃沙娃理论的尝试进行到底的
那是我工作生涯中最重要的时刻
它是如此难以言喻得美丽 如果简单 如此优雅
我只是不相信地盯着它有20分钟
然后那一整天我在房内转来转去
总是会回到书桌那儿 查看它是否还在那儿
它还在那儿
那看起来阻止弗拉赫和科里瓦金方法的几乎正是
同时说明伊娃沙娃理论的
三年前我对这问题的最初尝试就应完全行得通
在死灰之上似又升起了解题的真正答案
所以我先回家留待问题于第二天
次日早上我再次对它进行了检查
到11点的时候 我满意地下楼来
告诉我太太得到了 我想我得到了 我找到了
如此出乎意料
我想她会认为我是在说孩子的玩具或是什么 她问得到了什么?
我说我弥补好了我的证明 得到了
我认为这将一直是数论领域中的最高成就之一
太了不起了
不是每一天都能听说到世纪之证的
我头个反应就是: 我告诉过你
谷山-志村猜想不再是个猜想
结局就是费马的最后定理终被证明
但安德鲁的证明和费马的是一样的吗?
费马不可能有这样的证明 因为这是个20世纪的证明
而这不可能在20世纪之前就可得以做到
这个结果现终取得 我感到释然
但在某些方面又难过 因为费马最后定理如此意义菲然
我们将找到什么来取代它的位置呢?
没有其它的难题对我来说具有同等意义
我有过这难得的荣幸 能够在我的成年年岁中追寻
我儿时的梦想
我知道那是难得的荣幸 但如果可做成
就将比我所能想象的任何事情都有价值
这项工作中了不起的一件事就是 它包涵了如此多数学家的思想
我列出个不完整的名单: 克莱茵 弗里克 胡尔维茨 赫克 狄利克莱 戴德金...
包括朗兰兹和图内尔 德里格内
拉波波特 凯兹的证明...
包括梅休尔使用加勒华表示之变形理论的想法...
依古瑟 埃其勒 志村五郎 谷山丰...
弗莱的整理...
这个名单还长得很...
布洛克 卡特 塞尔默 弗莱 费马
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